Haverá uma forma que possa ser usada infinitamente num mosaico, encaixando-se perfeitamente num padrão que não se repete? Os matemáticos há muito que se perguntam se existia a forma “einstein” – deriva das palavras alemãs “ein” e “Stein” que significam “uma pedra”, que no seu sentido mais lato significam “uma forma”- que poderia ser utilizada para criar um padrão não repetitivo (aperiódico) num plano infinito.
Agora, num artigo publicado no dia 20 de março e ainda não revisto pelos pares, os matemáticos David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, e Chaim Goodman-Strauss, afirmam ter encontrado uma nova forma de 13 lados que consegue alcançar o objetivo da aperiodicidade com uma única forma, resolvendo um problema que tem deixado os cientistas perplexos durante décadas.
O que são mosaicos aperiódicos?
Os mosaicos aperiódicos são um tipo específico de mosaico em que o padrão das formas utilizadas para cobrir a superfície não se repete. Isto contrasta com os mosaicos periódicos, que utilizam formas para cobrir uma superfície num padrão que se repete regularmente, sem deixar quaisquer lacunas, como com triângulos ou quadrados.
O primeiro conjunto aperiódico foi descoberto em 1963 pelo matemático americano Robert Berger. Este consistia em 20 426 formas únicas. Esta descoberta deu origem a mais pesquisas sobre mosaicos aperiódicos, de forma a aferir se este número poderia ser reduzido.
O mais famoso conjunto de mosaicos aperiódicos data de 1974 e é conhecido como “mosaico de Penrose”, que consiste em duas formas diferentes de losangos.
Porém, desde a descoberta de Roger Penrose, os matemáticos têm procurado o “Santo Graal” do mosaico aperiódico – uma única forma que possa preencher um plano infinito e sem repetições.
A descoberta
No entanto, a última descoberta, uma forma de 13 lados que foi chamada “chapéu” pelos seus proponentes, apresentou uma solução simples.
A forma foi descoberta por David Smith, um matemático amador inglês. “Estou sempre a brincar e a experimentar com as formas [geométricas]”, contou ao New York Times.
A equipa começou por utilizar computadores para filtrar centenas de formas diferentes, eliminando aquelas que não se adequavam, para depois analisarem e testarem aquelas que pareciam mais adequadas.
Smith e os colegas provaram que o mosaico era um “einstein” de duas maneiras. A primeira demonstrou que os “chapéus” se organizam em grupos maiores, chamados “meta mosaicos”. Esses “meta mosaicos” organizam-se então em grupos ainda maiores, e assim por diante infinitamente. Esta abordagem revelou que o mosaico “chapéu” poderia preencher todo um plano infinito e que o seu padrão não se repetiria.
A segunda baseou-se no facto de que o “chapéu” faz parte de um continuum de formas. Ao alterar gradualmente os comprimentos dos lados do “chapéu”, os matemáticos foram capazes de formar uma família de mosaicos que podem assumir o mesmo padrão não repetitivo.
Aplicações futuras
Visto que os padrões repetitivos são frequentemente vistos nas estruturas moleculares dos materiais cristalinos, característica que os torna fáceis de danificar, os matemáticos esperam que o conhecimento da nova forma conduza à criação de novos materiais que sejam extra fortes ou tenham outras propriedades úteis.
